第3次元のマッピングとは、原点 $O$ を通る互いに直交する3つの有向線分（x軸、y軸、z軸）を定義することで、平らな $\mathbb{R}^2$ 平面から $\mathbb{R}^3$ 空間に数学的な世界を拡張することを意味します。
単純な多項式項から複雑な関数を構成するために指数関数のマクローリン級数 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ を使うのと同様に、3次元空間は8つの 八分象限 交差する3つの 座標平面 （xy平面、yz平面、xz平面）。この変換により、任意の 点P として 順序対 (a, b, c)、これらの平面からの有向距離を表します——2次元の「無限の複雑さ」を持つ 雪の結晶曲線 から物理世界の構造化された体積へと移行します。
$\mathbb{R}^3$ の幾何学
空間上の点を特定するためには、原点 $O$ を通り互いに垂直な3つの有向線分を固定し、これらを x軸、 y軸および z軸と呼びます。その方向性は 右手則に従います。右の手の指を正のx軸から正のy軸へと曲げると、親指が正のz軸の方向を指します（図2）。
3つの座標軸は3つの座標平面を決定します： xy平面 （$z=0$）、 yz平面 （$x=0$）、および xz平面 （$y=0$）。これらの平面は空間を8つの部分に分割し、これらを 八分象限と呼びます。最初の八分象限ではすべての座標が正です。
任意の点 $P$ に対して、三つ組 $(a, b, c)$ には x座標 （$a$）、 y座標 （$b$）、および z座標 （$c$）が含まれます。これらはそれぞれ、yz平面、xz平面、xy平面からの有向距離です。
数学的マッピングの類似性
点 $P(a, b, c)$ の位置を成分の和で求めるのは、級数の項を足し合わせることと概念的に似ています。級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ の和を求めることを考えましょう。これには、$e^x$ のマクローリン級数の馴染み深いパターンを認識することが必要です。
級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ は $e^{x+2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n!}$ と関係しています。これを解くためには、インデックスを操作して馴染み深い形に一致させます：
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!} = (x+2)^{-3} \left[ e^{x+2} - 1 - (x+2) - \frac{(x+2)^2}{2!} \right]$$
パワーシリーズの成分を特定するのと同じように、座標軸や平面を特定することで空間的位置を決定します。
次元の落とし穴
注意： 方程式が与えられたとき、それが $\mathbb{R}^2$ 内の曲線を表すのか、それとも $\mathbb{R}^3$ 内の曲面を表すのかを文脈から理解する必要があります。
- 方程式 $y=5$： ・$\mathbb{R}^1$ では点です。・$\mathbb{R}^2$ では水平線です。・$\mathbb{R}^3$ では完全な 平面 xz座標平面に平行な（図7）。
- 方程式 $y=x$： $\mathbb{R}^3$ では、$z$ が「自由」であるため、この方程式はz軸を通る垂直平面を表し、xy平面を直線 $y=x$ に沿って切断します。